Automatisieren von Fehlerrechnung

\[ \sigma_{f(x_i)} = \sqrt{\sum_{i=1}^m \left( \frac{\partial f}{\partial x_i}\right)^{\!2} \sigma_{x_i}^2} \]

  • Gesucht: Fehler von \(f(x_i)\), wenn \(x_i\) Fehler haben
  • Manuelle Fehlerfortpflanzung:
  1. Berechne die Ableitungen von \(f\) nach allen fehlerbehafteten Größen \(x_i\)
  2. Ableitungen in die obere Formel einsetzen
  3. Werte und Fehler der \(x_i\) einsetzen
  • Probleme:
  • Kompliziert, dauert lange, man macht oft Fehler
  • Falsches Ergebnis, wenn \(x_i\) korreliert sind

\[ \operatorname{cov}(\vec{f}) = \mathbf{J} \operatorname{cov}(\vec{x}) \mathbf{J}^\top \]

\(\mathbf{J}\) ist Jacobimatrix von \(\vec{f}\) nach \(\vec{x}\).

uncertainties

  • Erlaubt es, Fehlerrechnung automatisch durchzuführen
  • Datentyp: ufloat, repräsentiert Wert mit Fehler
In [15]: 
from uncertainties import ufloat

x = ufloat(5, 1)
y = ufloat(3, 1)

x + y
Out[15]:
8.0+/-1.4142135623730951
In [16]: 
# Korrelationen werden von uncertainties beachtet:
x = ufloat(3, 1)
y = ufloat(3, 1)

print(x**2 - y)
print(x**2 - x) # Fehler ist kleiner!

6.0+/-6.1
6.0+/-5.0

uncertainties.unumpy ergänzt numpy:

In [17]: 
import numpy as np
import uncertainties.unumpy as unp

x = [1, 2, 3, 4, 5]
err = [0.1, 0.3, 0.1, 0.8, 1.0]

y = unp.uarray(x, err)

unp.cos(unp.exp(y))
Out[17]:
array([-0.9117339147869651+/-0.11166193174450133,
       0.4483562418187328+/-1.9814233218473645,
       0.3285947554325321+/-1.8970207322669204,
       -0.3706617333977958+/-40.567208903209576,
       -0.7260031145123346+/-102.06245489729305], dtype=object)

Zugriff auf Wert und Standardabweichung mit n und s:

In [18]: 
x = ufloat(5, 1)
print(x.n)
print(x.s)

5.0
1.0

Bei unumpy mit nominal_values und std_devs

In [19]: 
x = unp.uarray([1, 2, 3], [0.3, 0.3, 0.1])
print(unp.nominal_values(x))
print(unp.std_devs(x))

[ 1.  2.  3.]
[ 0.3  0.3  0.1]

Kann man natürlich auch abkürzen:

In [20]: 
from uncertainties.unumpy import (nominal_values as noms,
                                  std_devs as stds)

print(noms(x))
print(stds(x))

[ 1.  2.  3.]
[ 0.3  0.3  0.1]

Man muss daran denken, die Funktionen aus unumpy zu benutzen (exp, cos, etc.)

In [21]: 
unp.cos(x)
Out[21]:
array([0.5403023058681398+/-0.25244129544236893,
       -0.4161468365471424+/-0.2727892280477045,
       -0.9899924966004454+/-0.014112000805986721], dtype=object)

korrelierte Werte

In [22]: 
from uncertainties import correlated_values

values = [1, 2]

cov = [[0.5, 0.25],
       [0.25, 0.2]]

x, y = correlated_values(values, cov)

Vorsicht bei Fits:

korrelierte Fit-Parameter führen zu nichts-sagenden Ergebnissen. Kontrolle: Kovarianzmatrix.

In [23]: 
%matplotlib inline

from numpy.random import normal
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 8)
plt.rcParams['font.size'] = 16
from scipy.optimize import curve_fit
from uncertainties import correlated_values, correlation_matrix

def f1(x, a, b):
    return a * np.exp(b * x)

def f2(x, a, b, c):
    return a * np.exp(b * x + c)

x = np.linspace(0, 2, 30)
y = 0.5 * np.exp(2 * x) + normal(0, 1, 30)


params, cov = curve_fit(f1, x, y)
#params, cov = curve_fit(f2, x, y)

params = correlated_values(params, cov)

for param in params:
    print(param)
print()
print(cov)

plt.matshow(correlation_matrix(params))
plt.colorbar()

0.42+/-0.06
2.10+/-0.07

[[ 0.00311356 -0.00406271]
 [-0.00406271  0.00539254]]
Out[23]:
<matplotlib.colorbar.Colorbar at 0x7f1a6e943be0>

Vorsicht

Man kann keine ufloats plotten:

In [24]: 
x = np.linspace(0, 10)
y = unp.uarray(np.linspace(0, 5), 1)

#plt.plot(x, y, 'rx')
plt.errorbar(x, unp.nominal_values(y), yerr=unp.std_devs(y), fmt='rx')
Out[24]:
<Container object of 3 artists>

Sympy

  • Problem: Die Assistenten möchten aber trotzdem, dass man alle Ableitungen in das Protokoll schreibt
  • Lösung: Ableitungen automatisch generieren

SymPy importieren:

In [25]: 
import sympy

Mathematische Variablen erzeugen mit var():

In [26]: 
x, y, z = sympy.var('x y z')

x + y + z
Out[26]:
x + y + z

Differenzieren mit diff():

In [27]: 
f = x + y**3 - sympy.cos(z)**2

print(f.diff(x))
print(f.diff(y))
print(f.diff(z))
print(f.diff(z, z, z))

1
3*y**2
2*sin(z)*cos(z)
-8*sin(z)*cos(z)

Eine Funktion, die automatisch die Fehlerformel generiert:

In [28]: 
import sympy

def error(f, err_vars=None):
    from sympy import Symbol, latex
    s = 0
    latex_names = dict()
    
    if err_vars == None:
        err_vars = f.free_symbols
        
    for v in err_vars:
        err = Symbol('latex_std_' + v.name)
        s += f.diff(v)**2 * err**2
        latex_names[err] = '\\sigma_{' + latex(v) + '}'
        
    return latex(sympy.sqrt(s), symbol_names=latex_names)

E, q, r = sympy.var('E_x q r')

f = E + q**2 * r

print(error(f))

\sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}

\[\sqrt{\sigma_{E_{x}}^{2} + 4 \sigma_{q}^{2} q^{2} r^{2} + \sigma_{r}^{2} q^{4}}\]